Sama dengan Selisih Dua Bilangan di atasnya

Sudah mengenal tentang bilangan segitiga? Sudah mengenal apa itu bilangan segitiga? Tentu beberapa pembaca sudah mengenalnya dan beberapa pembaca belum mengenalnya. Bagi yang belum mengenal, bisa dibaca sekilas berikut ini.
Beberapa bilangan segitiga yang pertama adalah 1, 3, 6, 10, 15, …
Berasal dari mana bilangan segitiga itu? Dari mana munculnya bilangan segitiga? Suatu titik yang dibentuk menjadi segitiga. Banyaknya titik-titik yang dibutuhkan itulah yang nantinya disebut sebagai bilangan segitiga. Banyaknya titik pada segiga pada gambar adalah 3. Sehingga setiap sisinya mempunyai dua titik. Untuk selanjutnya ada 6 titik untuk membentuk suatu segitiga (segitiga sama sisi).

Untuk lebih jelas mengenai titik-titik yang membentuk suatu segitiga, coba perhatikan gambar berikut :



Setelah 6, yaitu 10. Kemudian 15, 21, dan seterusnya.
Beda barisan ini unik. Barisan 1, 3, 6, 10, 15, … mempunyai beda yang berjalan dari 2, 3, 4, 5, 6, …
Kali ini yang dibahas bukan bilangan segitiga itu. Melainkan sesuatu yang unik yang tertera pada judul di atas. Sama dengan selisih dua bilangan di atasnya. Perhatikan gambar! Maksudnya, jika ligkaran-lingkaran penyusun segitiga itu diberikan nomor dari 1 sampai banyaknya bilangan segitiga pada saat itu, maka dengan peletakan yang diatur bisa dibuat hal yang unik seperti itu, yaitu bilangan yang ada di bawah dua lingkaran sama dengan selisih dua bilangan di atasnya.

Ada dua macam bentuk pada bilangan segitiga kedua. Tentu bilangan segitiga kedua adalah 3.
Coba perhatikan untuk bilangan segitiga selanjutnya, yaitu bilangan segitiga 6, seperti gambar berikut :



Bilangan segitiga itu adalah 6. Jika angka 1 sampai 6 dimasukkan ke dalam lingkaran-lingkaran tersebut sedemikian sehingga bisa membentuk seperti itu, yaitu bilangan di dalam lingkaran itu sama dengan selisih dari bilangan di dua lingkaran di atasnya.
Coba perhatikan yang warna biru, selisih 2 dan 6 adalah 4. Selisih 6 dan 5 adalah 1. Selisih 4 dan 1 adalah 3. Begitu juga untuk yang sebelahnya.

Bilangan segitiga yang selanjutnya adalah 10. Tentu kita akan membuat lingkaran 10 buah yang membentuk segitiga. Kemudian mengisikan angka dari 1 sampai 10 ke dalam lingkaran kecil itu sehingga bilangan yang ada di dalam lingkaran kecil sama dengan selisih dua bilangan yang ada di dalam lingkaran di atasnya. Seperti berikut :



Coba kita check. Selisih 8 dan 3 adalah 5. Selisih 3 dan 10 adalah 7. Selisih 10 dan 9 adalah 1. Selisih 5 dan 7 adalah 2. Selisih 7 dan 1 adalah 6. Selisih 2 dan 6 adalah 4. Ternyata benar. Dan angka yang digunakan pun dari 1 sampai 10.
Unik bukan.

Selanjutnya bilangan segitiga yang berikutnya, yaitu bilangan segitiga yang ke-5. Bilangan segitiga itu adalah 15. Seperti berikut :



Silahkan dicheck apakah jumlahnya sudah benar atau salah. silahkan dihitung sendiri ya.
Bilangan segitga memang unik. Menyembunyikan banyak hal.

Untuk bilangan segitiga selanjutnya adalah 21. Tetapi sayangnya tidak ada susunan yang bisa membentuk seperti itu. Tidak ada peletakan dari angka 1 sampai 21 yang bisa memenuhi syarat seperti sebelum-sebelumnya.
Meskipun demikian, beberapa bilangan segitiga ini saja cukup mewakili kita untuk lbih memperhatikan bilangan segitiga. Hehehe.

Indahnya Barisan Aritmatika

UuuuuPPzzZZZzzz<<<<<<<<<<<<<<

Membuat barisan aritmetika sangatlah mudah. Tinggal menentukan suku pertama, dan menentukan beda tiap suku-sukunya, kita sudah bisa dengan mudah membuat barisan aritmetika. Masih ingat dengan rumus-rumusnya kan? Rumus barisan aritmetika untuk mencari suku ke-n.
Jika beda adalah b dan suku pertama adalah a, maka suku ke-n atau Un adalah



Untuk mencari jumlah sampai suku ke-n atau Sn, kita bisa menggunakan rumus



Hanya dua rumus itu yang perlu diingat. Tidak perlu dihafal, karena rumus itu dengan mudah bisa ditemukan.

Mengenai barisan aritmetika yang unik akan kita bahas di sini. Barisan aritmetika unik ini hanya untuk selingan belajar saja supaya tidak membosankan.
Barisan aritmetika unik yang pertama ini adalah barisan aritmetika dengan beda 11 dan suku pertamanya 11. Barisannya seperti berikut :



Pertanyaan yang mucul,
1.Apakah 111 adalah suku dari barisan tersebut? Mengapa?
2.Apakah 1111 adalah suku dari barisan tersebut? Suku ke berapa?
3.Bagaimana dengan 1111111, apakah merupakan suku dari barisan tersebut? Kemukakan pendapatmu?
4.Pertanyaan berkembang ke apaka 99 merupakan suku dari barisan tersebut? Apakah 999 juga merupakan suku? Bagaimana dengan 9999?
5.Apakah 121 merupakan suku dari barisan tersebut? Apakah 1221 merupakan suku dari barisan tersebut? Apakah 12221 merupakan suku dari barisan tersebut?

Kali ini tidak kami tuliskan jawabannya dengan tujuan pembaca yang menjawabnya. Selain sebagai latihan juga bisa digunakan untuk berpikir kreatif. Khususnya yang SMA atau SMP.

Postingan kali ini akan kami berikan tulisan yang menarik, mengenai barisan aritmetika yang unik kedua. Barisan aritmetika dengan suku pertama 1487. Aneh. Angkanya tidak bagus. Entahlah mau komentar seperti apa.
Beda yang kita gunakan adalah 3330.

Coba kita tuliskan beberapa suku pertamanya. Seperti beirikut ini :



Di sinilah mulai terlihat uniknya. Tiga suku pertamanya mempunyai angka yang sama. hanya dalam susunan yang berbeda. Suku ke empat sudah jelas berbeda kare sudah masuk ke bilangan lima angka.
Coba kalian tuliskan semua sukunya.

Selain tiga sukunya yang unik ini. Beberapa sukunya juga mempunyai angka yang sama. hanya saja ditambah dengan angka 0.

Misalnya suku ke-5. Berapakah suku ke-5? Suku kelima dari barisan aritmetika ini adalah 14807. Kali ini uniknya ada pada angka-angkanya. Sama seperti 3 suku pertama tadi bukan. Suku ke berapa lagi yang mempunyai angka-angka 1, 4, 7, 8 dan 0?

Suku ke-15. Suku kelimabelas bernilai 48107.

Untuk yang lainnya bisa dilihat berikut ini :

Suku ke-25 adalah 81407
Suku ke-33 adalah 108047
Suku ke-45 adalah 148007
Suku ke-121 adalah 401087
Suku ke-145 adalah 481007
Suku ke-245 adalah 814007
Suku ke-301 adalah 1000487
Suku ke-325 adalah 1080407
Suku ke-421 adalah 1400087
Suku ke-445 adalah 1480007
Suku ke-1202 adalah 4000817
Suku ke-1205 adalah 4010807
Suku ke-2403 adalah 8000147
Suku ke-2415 adalah 8040107
Suku ke-2433 adalah 8100047
Suku ke-2445 adalah 8140007
Suku ke-3005 adalah 10004807
Suku ke-3245 adalah 10804007

…

Tiap sukunya berakhiran 7 karena suku pertama berangka satuan 7, dan bedanya merupakan kelipatan 10. Jadi, semua sukunya berakhiran 7.
Suku dengan kombinasi 1, 4, 7, 8 dan 0 yang kami temukan hanya muncul angka 1, 4, 7 dan 8 sebanyak 1 kali. Tidak pernah muncul 2 kali atau lebih. Jadi, kami belum menemukan suku seperti bentuk berikut 11487 atau 107847 atau yang lainnya.

Magic 3 Gong Ring

 
Entah apa artinya
 


Magic ini ternyata letaknya, mempunyai jumlah sama untuk masing-masing arahnya..
, begitu juga untuk dan juga untuk
Merupakan hal yang menarik kan. Meskipun kelihatan sederhana, tetapi ternyata mempunyai jumlah yang sama. Selain posisi angka yang seperti itu, magic ini juga bisa ditukar posisi angkanya, seperti berikut ini i :



Ini adalah bentuk di atas, coba gantikan angka-angka tersebut (ubah posisi angka-angka tersebut) dengan ini :









Coba masukkan angka-angkanya. Memenuhi kan. Coba masukkan angka-angka yang ada tersebut. Sama hasilnya kan.
Meskipun untuk angka-angka yang diberikan dibawahnya ada yang berulang. Tetapi ini tidak menjadi masalah. Pokoknya jumlahnya sama kan.. hehehe.
 

Korek Api (merubah luas)

Bermain-main dengan korek api. Asalkan tidak dinyalakan ya tidak berbahaya. Hehehehe. Kali ini matematika akan bermain dengan korek api. Bagaimanakah permainannya, perhatikan gambar berikut :


 
 

12 korek api disusun seperti pada gambar tersebut. Membentuk suatu segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya masing-masing adalah 3, 4 dan 5 korek api. Tentunya, kita bisa menentukan luasnya dengan mudah, yaitu dengan menggunakan rumus luas segitiga siku-siku.


Luas korek apai dengan bentuk bangun datar tersebut adalah satuan luas korek api.


Tantangannya,


Pindahkan beberapa batang korek api, sehingga luas permukaan bangun datar yang terbentuk adalah sama dengan 2 satuan luas korek api.


Bagaimanakan solusinya?


SOLUSI


Korek api yang harus dipindahkan bisa dilihat pada gambar berikut ini :


 


Bagaimana menunjukkan bahwa luasnya sama dengan 2?


Luas daerah yang awalnya merupakan bagian dalam korek apai yang sekarang merupakan bagian luarnya sama dengan 2 kali luas segitiga siku-siku yang terbentuk oleh korek api. Dengan alas satu satuan korek api dan tingginya sama dengan 4 satuan korek api.
Luasnya sama dengan
Karena sebanyak 2 kali, maka dikalikan 2. Sama dengan 4.
Sehingga luas bagian dalam dari bangun datar yang baru sama dengan satuan luas korek api.

Korek Api (membagi luas menjadi dua)

Kali ini korek api memberikan yang sedikit unik. Membagi luas daerah menjadi dua bagian yang sama. Daerah yang terbentuk dari korek api seperti gambar berikut :
 



Berupa segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya adalah 3, 4 dan 5 satuan panjang korek api. Lalu apa yang akan menjadi permasalahan?


Bagimana caranya? Dengan meletakkan tiga korek api di dalam daerah tersebut sehingga membagi daerah segitiga siku-siku tersebut menjadi dua daerah yang sama besar.
12 korek api tersebut tidak boleh diubah posisinya. Bagaimana caranya?




SOLUSI


Perhatikan gambar berikut ini :





Bagaimana kita percaya bahwa 3 korek api tersebut membagi dua bagian sama besar?


Akan kita hitung luasnya! Kita hitung yang bagian atas saja!
Tentu kita sudah tahu bahwa luas segitiga awalnya adalah 6 satuan luas korek api. Sehingga kita harus menunjukkan bahwa luas salah satu bagian daerah yang telah dipotong sama dengan setengah dari luasnya segitiga awal, yaitu sama dengan 3 satuan luas korek api.


Untuk melihat bahwa luas daerah bagian atas sama dengan 3 satuan luas korek api, maka perhatikan gambar berikut ini :





Daerah atas tersebut dibagi-bagi. Menjadi satu buah persegi dan dua buah segitiga siku-siku yang sama dan sebangun.
Luas persegi sama dengan 1 satuan luas korek api. Sedangkan luas segitiga siku-siku tersebut sama dengan 1 satuan luas korek api. Karena ada dua segitiga siku-siku kecil dan ada satu persegi dengan luas sama dngan 1 satuan luas korek api, maka luas daerah bagian atas korek api adalah sama dengan satuan luas korek api.


Akibatnya, luas daerah bawah korek api juga sama dengan 3 satuan luas korek api.


Terbuktilah bahwa bentuk peletakan tiga korek api tersebut membagi satu daerah tadi menjadi dua daerah yang mempunyai luas sama
 

Grafik Wajah Matematika

 

 


Banyak cara menggambar grafik. Banyak juga grafik unik. Kalau postingan sebelumnya mengenai grafik trigonometri yang bentuknya berupa garis lurus, dan juga grafik hati, grafik orang-orangan, dan sebagainya. Kali ini ada sedikit yang baru, yaitu grafik wajah.


Kali ini bukan hanya satu persamaan, tetapi lebih dari satu persamaan.
Persamaan Grafiknya sebagai berikut :

Alphametic pada Soal Olimpiade

   
 
  

Apa itu alphametic. Alphametic adalah suatu bentuk kata yang terdiri dari beberapa huruf, dan setiap huruf bisa diganti dengan suatu angka. Dan setiap huruf yang berbeda, tentunya akan mempunyai nilai angka yang berbeda juga.
Permasalahan mengenai alphametic biasanya ada pada soal-soal olimpiade, baik di SD, SMP maupun jenjang yang lainnya.
Dan biasanya diberikan dalam bentuk suatu operasi matematika, penjumlahan, pengurangan, perkalian maupun pembagian dan yang lainnya.
Misalnya pada soal SD, Tentukan masing-masing nilai dari setiap huruf pada alphametic berikut :

 

 

Tentukan suatu angka/digit yang mewakili P, R dan Q.
Dan biasanya di soal tersebut yang ditanyakan adalah bermacam-macam. Misalnya, tentukan P+Q+R, atau yang lainnya.


Tentu hal ini bisa diselesaikan dengan cara macam-macam, dengan coba-coba merupakan cara yang sangat sering digunakan.
Perhatikan huruf Q terakhir. Suatu angka yang dikalikan dengan suatu angka, yang menghasilkan angka satuan sama dengan angka sebelumnya. Tentunya kita bisa menduga-duga.
dan dan
Hanya angka-angka tersebut yang mungkin.


Dan selanjutnya diserahkan kepada pembaca untuk diselesaikan.
Karena soal ini masih tergolong mudah.




Pada postigan kali ini yang ingin kami tunjukkan mengenai alphametic adalah sesuatu yang unik. Seperti pada gambar di awal tulisan ini, yaitu :

 

EARTH+AIR+FIRE+WATER=NATURE

 

Alphametic, setiap huruf yang berbeda mewakili suatu angka yang berbeda. Bisa kita lihat pada gambar tersebut,
A=7, E=6, R=4, T=3, H=2, I=0, F=8, W=9, N=1, U=5
Bentuk alphametic tersebut ditemukan oleh Herman Nijon.
Semua angkanya di sini terpakai, tidak ada angka yang tidak terpakai.


Bentuk berikut ini juga unik, bentuk yang berikut ini ditemukan oleh Peter J. Martin





S=1, A=2, T=7, U=5, R=0, N=3, E=9, P=4, L=6, O=8
Bentuk kali ini juga menggunakan semua angkanya, yaitu dari 0 sampai 9.

SATURN+URANUS+NEPTUNE+PLUTO=PLANETS

 

Bentuk alphametic ini sangat susah untuk ditemukan. Selain itu, bentuk alphametic ini juga terbatas pada 10 huruf yang dipakai. Maksimal hanya menggunakan 10 huruf. Tidak akan bisa menggunakan lebih dari 10 huruf. Karena angka itu hanya dari 0 sampai 9. Tidak ada lagi selain itu.


Andaikan orang dulu menggunakan basis yang lebih besar dari 10, dan membuat simbol angka untuk angka yang lebih dari 10, maka kemungkinan alphametic ini akan semakin besar. Hehehe.. tetapi tentunya perhitungan akan semakin rumit. Hehehe.
 

46 Hari Prima ditahun 2011 (INDONESIA)

 

Apa itu hari-hari prima?

Kami di sini mengatakan bahwa hari prima adalah tanggal tersebut merupakan bilangan prima. Misalnya tanggal 1 januari 2011, ini biasanya (di Indonesia) dituliskan sebagai 01-01-2011. Yang kami perhatikan adalah apakah bilangan  01012011 atau 1012011 merupakan bilangan prima? Seperti itu.
Pencarian kami akhirnya membuahkan hasil. Kami temukan sebanyak 46 tanggal yang merupakan bilangan prima. Semuanya kami tuliskan di sini sebagai berikut :

2012011,  2 januari 2011
5012011,  5 januari 2011
6012011,  6 januari 2011
11012011,  11 januari 2011
20012011,  20 januari 2011
1022011,  1 februari 2011
2022011,  2 februari 2011
10022011,  10 februari 2011
20022011,  20 februari 2011
26022011,  26 februari 2011
12032011,  12 maret 2011
22032011,  22 maret 2011
27032011,  27 maret 2011
15042011,  15 april 2011
30042011,  30 april 2011
7052011,  7 mei 2011
22052011,  22 mei 2011
23052011,  23 mei 2011
25052011,  25 mei 2011
3062011,  3 juni 2011
28062011,  28 juni 2011
14072011,  14 juli 2011
15072011,  15 juli 2011
18072011,  18 juli 2011
21072011,  21 juli 2011
27072011,  27 juli 2011
7082011,  7 agustus 2011
14082011,  14 agustus 2011
25082011,  25 agustus 2011
6092011,  6 september 2011
9092011,  9 september 2011
21092011,  21 september 2011
27092011,  27 september 2011
24102011,  24 oktober 2011
1112011,  1 november 2011
7112011,  7 november 2011
8112011,  8 november 2011
11112011,  11 november 2011
14112011,  14 november 2011
16112011,  16 november 2011
26112011,  26 november 2011
28112011,  28 november 2011
29112011,  29 november 2011
10122011,  10 desember 2011
22122011,  22 desember 2011
25122011,  25 desember 2011

Itu semua adalah list untuk semua tanggal prima. Jika tanggal itu dikonversikan ke hari, maka akan didapatkan banyaknya harinya sebagai berikut :

Hari senin sebanyak 6
Hari selasa sebanyak 9
Hari rabu sebanyak 6
Hari kamis sebanyak 7
Hari jumat sebanyak 5
Hari sabtu sebanyak 6
Hari minggu sebanyak 7

Paling banyak hari primanya yaitu hari selasa. Ada sebanyak 9 kali di tahun 2011 ini. Dan paling sedikit ada pada hari jumat, ada 5 kali pada tahun 2011.
Yang paling menarik perhatian penulis yaitu pada tanggal 11 november 2011. Ini adalah merupakan tanggal prima, 11112011.
11 november 2011 jika dituliskan menjadi 11-11-2011, bilangan 11112011 merupakan bilangan prima. Tetapi jika dituliskan menjadi seperti 11-11-11, maka bukan merupakan bilangan prima (111111 bukan merupakan bilangan prima).
Penulisan tanggal dengan cara seperti ini kita sebut dengan penulisan singkat. Menuliskan 1 januari 2011 menjadi 01-01-11. Ini kami sebut sebagai penulisan singkat. Jika penulisan tanggal ditulis seperti itu (HHBBTT) dengan H adalah hari, B adalah bulan dan T adalah tahun. Maka, setelah kita lakukan perhitungan, didapatkan sebanyak 78 bilangan prima pada tahun 2011.
Ini lebih banyak dari pada dengan cara menuliskan menjadi HHBBTTTT.

Menulis Matematika di Microsoft Word (Office 2007)

  Membuat laporan tugas-tugas matematika dengan mengetiknya di Microsoft Word. Merupakan hal yang paling membuat kita malas. Mengapa? Karena kecepatan mengetik kita akan menurun ketika kita mengetikkan simbol-simbol matematika.
Kita masih perlu insert equation dan sebagainya.
Meskipun sudah ada tombol cepatnya, yaitu alt + =, terkadang kita juga masih cukup lambat ketika harus mengklik simbol apa yang kita masukkan. Misalnya saja, ketika kita ingin memasukkan symbol , kita harus menekan alt + = kemudian mencari symbol kemudian mengkliknya. Ini memang mudah dan cukup cepat.
Tetapi pada postingan kali ini akan kami berikan cara yang lebih cepat, yaitu dengan memanfaatkan nama-nama dari simbolnya.. . Ini awalnya kami mencoba-coba.. dan ternyata sedikit berhubungan dengan latex. .


Cara ini juga bisa menghemat/mempercepat kita untuk menuliskan bentuk akar, integral, pangkat, pecahan, dan lain sebagainya.


Ketika kita menekan tombol cepat, alt + = , maka akan muncul kotak equation sebagai berikut :


Kita semua sudah pasti mengerti, kita akan mengetik simbol-simbol matematika, persamaan matematika dan lain-lain di dalam kotak equation tersebut.
Ketika kita menuliskan suatu bentuk matematika, kita pasti menuju uquation tools :



Kemudian memilihnya, lalu mengklik. . kemudian baru mengisi.
Cara ini sudah efektif, tetapi akan lebih efektif lagi jika menggunakan cara berikut ini :


Cara-cara selanjutnya (cara asimtot) adalah dengan cara mengetikkan :

deklarasi kemudian spasi

Pertama, membuat pecahan

Ketika kita menuliskan bentuk pecahan seperti itu, mungkin kita masih menggunakan equation tools, pada bagian fraction. Padahal sebenarnya ada cara yang lebih cepat, yaitu dengan mengetikkan : / (kemudian) spasi
Maka akan muncul bentuk fraction seperti gambar di atas.
Membuat pangkat
Untuk membuat pangkat, misalkan kita ingin menuliskan , maka kita cukup mengetikkan : a^ (kemudian) spasi


Membuat indeks atau (subscript)
Ketik : a_ (kemudian) spasi


Membuat akar kuadrat

Untuk membuat akar kuadrat, maka kita harus mengetikkan : \sqrt (kemudian) spasi (kemudian) spasi


Selengkapnya ada pada table berikut ini :





Untuk penulisan simbol, maka wajib diawali tanda “\” (tanpa tanda petik)


Beberapa simbol yang mungkin akan sering digunakan :
Pi
Dengan cara mengetikkan : \pi (kemudian) spasi


Implikasi
Dengan cara mengetik : \to (kemudian) spasi


Tanda kurang dari atau sama dengan dan sejenisnya
Dengan mengetikkan : <= (kemudian) spasi [atau] >= (kemudian spasi)


Tidak sama dengan
Dengan mengetik : \ne (kemudian) spasi




Selengkapnya ada pada tabel berikut ini :