Sama dengan Selisih Dua Bilangan di atasnya

Sudah mengenal tentang bilangan segitiga? Sudah mengenal apa itu bilangan segitiga? Tentu beberapa pembaca sudah mengenalnya dan beberapa pembaca belum mengenalnya. Bagi yang belum mengenal, bisa dibaca sekilas berikut ini.
Beberapa bilangan segitiga yang pertama adalah 1, 3, 6, 10, 15, …
Berasal dari mana bilangan segitiga itu? Dari mana munculnya bilangan segitiga? Suatu titik yang dibentuk menjadi segitiga. Banyaknya titik-titik yang dibutuhkan itulah yang nantinya disebut sebagai bilangan segitiga. Banyaknya titik pada segiga pada gambar adalah 3. Sehingga setiap sisinya mempunyai dua titik. Untuk selanjutnya ada 6 titik untuk membentuk suatu segitiga (segitiga sama sisi).

Untuk lebih jelas mengenai titik-titik yang membentuk suatu segitiga, coba perhatikan gambar berikut :



Setelah 6, yaitu 10. Kemudian 15, 21, dan seterusnya.
Beda barisan ini unik. Barisan 1, 3, 6, 10, 15, … mempunyai beda yang berjalan dari 2, 3, 4, 5, 6, …
Kali ini yang dibahas bukan bilangan segitiga itu. Melainkan sesuatu yang unik yang tertera pada judul di atas. Sama dengan selisih dua bilangan di atasnya. Perhatikan gambar! Maksudnya, jika ligkaran-lingkaran penyusun segitiga itu diberikan nomor dari 1 sampai banyaknya bilangan segitiga pada saat itu, maka dengan peletakan yang diatur bisa dibuat hal yang unik seperti itu, yaitu bilangan yang ada di bawah dua lingkaran sama dengan selisih dua bilangan di atasnya.

Ada dua macam bentuk pada bilangan segitiga kedua. Tentu bilangan segitiga kedua adalah 3.
Coba perhatikan untuk bilangan segitiga selanjutnya, yaitu bilangan segitiga 6, seperti gambar berikut :



Bilangan segitiga itu adalah 6. Jika angka 1 sampai 6 dimasukkan ke dalam lingkaran-lingkaran tersebut sedemikian sehingga bisa membentuk seperti itu, yaitu bilangan di dalam lingkaran itu sama dengan selisih dari bilangan di dua lingkaran di atasnya.
Coba perhatikan yang warna biru, selisih 2 dan 6 adalah 4. Selisih 6 dan 5 adalah 1. Selisih 4 dan 1 adalah 3. Begitu juga untuk yang sebelahnya.

Bilangan segitiga yang selanjutnya adalah 10. Tentu kita akan membuat lingkaran 10 buah yang membentuk segitiga. Kemudian mengisikan angka dari 1 sampai 10 ke dalam lingkaran kecil itu sehingga bilangan yang ada di dalam lingkaran kecil sama dengan selisih dua bilangan yang ada di dalam lingkaran di atasnya. Seperti berikut :



Coba kita check. Selisih 8 dan 3 adalah 5. Selisih 3 dan 10 adalah 7. Selisih 10 dan 9 adalah 1. Selisih 5 dan 7 adalah 2. Selisih 7 dan 1 adalah 6. Selisih 2 dan 6 adalah 4. Ternyata benar. Dan angka yang digunakan pun dari 1 sampai 10.
Unik bukan.

Selanjutnya bilangan segitiga yang berikutnya, yaitu bilangan segitiga yang ke-5. Bilangan segitiga itu adalah 15. Seperti berikut :



Silahkan dicheck apakah jumlahnya sudah benar atau salah. silahkan dihitung sendiri ya.
Bilangan segitga memang unik. Menyembunyikan banyak hal.

Untuk bilangan segitiga selanjutnya adalah 21. Tetapi sayangnya tidak ada susunan yang bisa membentuk seperti itu. Tidak ada peletakan dari angka 1 sampai 21 yang bisa memenuhi syarat seperti sebelum-sebelumnya.
Meskipun demikian, beberapa bilangan segitiga ini saja cukup mewakili kita untuk lbih memperhatikan bilangan segitiga. Hehehe.

Indahnya Barisan Aritmatika

UuuuuPPzzZZZzzz<<<<<<<<<<<<<<

Membuat barisan aritmetika sangatlah mudah. Tinggal menentukan suku pertama, dan menentukan beda tiap suku-sukunya, kita sudah bisa dengan mudah membuat barisan aritmetika. Masih ingat dengan rumus-rumusnya kan? Rumus barisan aritmetika untuk mencari suku ke-n.
Jika beda adalah b dan suku pertama adalah a, maka suku ke-n atau Un adalah



Untuk mencari jumlah sampai suku ke-n atau Sn, kita bisa menggunakan rumus



Hanya dua rumus itu yang perlu diingat. Tidak perlu dihafal, karena rumus itu dengan mudah bisa ditemukan.

Mengenai barisan aritmetika yang unik akan kita bahas di sini. Barisan aritmetika unik ini hanya untuk selingan belajar saja supaya tidak membosankan.
Barisan aritmetika unik yang pertama ini adalah barisan aritmetika dengan beda 11 dan suku pertamanya 11. Barisannya seperti berikut :



Pertanyaan yang mucul,
1.Apakah 111 adalah suku dari barisan tersebut? Mengapa?
2.Apakah 1111 adalah suku dari barisan tersebut? Suku ke berapa?
3.Bagaimana dengan 1111111, apakah merupakan suku dari barisan tersebut? Kemukakan pendapatmu?
4.Pertanyaan berkembang ke apaka 99 merupakan suku dari barisan tersebut? Apakah 999 juga merupakan suku? Bagaimana dengan 9999?
5.Apakah 121 merupakan suku dari barisan tersebut? Apakah 1221 merupakan suku dari barisan tersebut? Apakah 12221 merupakan suku dari barisan tersebut?

Kali ini tidak kami tuliskan jawabannya dengan tujuan pembaca yang menjawabnya. Selain sebagai latihan juga bisa digunakan untuk berpikir kreatif. Khususnya yang SMA atau SMP.

Postingan kali ini akan kami berikan tulisan yang menarik, mengenai barisan aritmetika yang unik kedua. Barisan aritmetika dengan suku pertama 1487. Aneh. Angkanya tidak bagus. Entahlah mau komentar seperti apa.
Beda yang kita gunakan adalah 3330.

Coba kita tuliskan beberapa suku pertamanya. Seperti beirikut ini :



Di sinilah mulai terlihat uniknya. Tiga suku pertamanya mempunyai angka yang sama. hanya dalam susunan yang berbeda. Suku ke empat sudah jelas berbeda kare sudah masuk ke bilangan lima angka.
Coba kalian tuliskan semua sukunya.

Selain tiga sukunya yang unik ini. Beberapa sukunya juga mempunyai angka yang sama. hanya saja ditambah dengan angka 0.

Misalnya suku ke-5. Berapakah suku ke-5? Suku kelima dari barisan aritmetika ini adalah 14807. Kali ini uniknya ada pada angka-angkanya. Sama seperti 3 suku pertama tadi bukan. Suku ke berapa lagi yang mempunyai angka-angka 1, 4, 7, 8 dan 0?

Suku ke-15. Suku kelimabelas bernilai 48107.

Untuk yang lainnya bisa dilihat berikut ini :

Suku ke-25 adalah 81407
Suku ke-33 adalah 108047
Suku ke-45 adalah 148007
Suku ke-121 adalah 401087
Suku ke-145 adalah 481007
Suku ke-245 adalah 814007
Suku ke-301 adalah 1000487
Suku ke-325 adalah 1080407
Suku ke-421 adalah 1400087
Suku ke-445 adalah 1480007
Suku ke-1202 adalah 4000817
Suku ke-1205 adalah 4010807
Suku ke-2403 adalah 8000147
Suku ke-2415 adalah 8040107
Suku ke-2433 adalah 8100047
Suku ke-2445 adalah 8140007
Suku ke-3005 adalah 10004807
Suku ke-3245 adalah 10804007

…

Tiap sukunya berakhiran 7 karena suku pertama berangka satuan 7, dan bedanya merupakan kelipatan 10. Jadi, semua sukunya berakhiran 7.
Suku dengan kombinasi 1, 4, 7, 8 dan 0 yang kami temukan hanya muncul angka 1, 4, 7 dan 8 sebanyak 1 kali. Tidak pernah muncul 2 kali atau lebih. Jadi, kami belum menemukan suku seperti bentuk berikut 11487 atau 107847 atau yang lainnya.

Magic 3 Gong Ring

 
Entah apa artinya
 


Magic ini ternyata letaknya, mempunyai jumlah sama untuk masing-masing arahnya..
, begitu juga untuk dan juga untuk
Merupakan hal yang menarik kan. Meskipun kelihatan sederhana, tetapi ternyata mempunyai jumlah yang sama. Selain posisi angka yang seperti itu, magic ini juga bisa ditukar posisi angkanya, seperti berikut ini i :



Ini adalah bentuk di atas, coba gantikan angka-angka tersebut (ubah posisi angka-angka tersebut) dengan ini :









Coba masukkan angka-angkanya. Memenuhi kan. Coba masukkan angka-angka yang ada tersebut. Sama hasilnya kan.
Meskipun untuk angka-angka yang diberikan dibawahnya ada yang berulang. Tetapi ini tidak menjadi masalah. Pokoknya jumlahnya sama kan.. hehehe.
 

Korek Api (merubah luas)

Bermain-main dengan korek api. Asalkan tidak dinyalakan ya tidak berbahaya. Hehehehe. Kali ini matematika akan bermain dengan korek api. Bagaimanakah permainannya, perhatikan gambar berikut :


 
 

12 korek api disusun seperti pada gambar tersebut. Membentuk suatu segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya masing-masing adalah 3, 4 dan 5 korek api. Tentunya, kita bisa menentukan luasnya dengan mudah, yaitu dengan menggunakan rumus luas segitiga siku-siku.


Luas korek apai dengan bentuk bangun datar tersebut adalah satuan luas korek api.


Tantangannya,


Pindahkan beberapa batang korek api, sehingga luas permukaan bangun datar yang terbentuk adalah sama dengan 2 satuan luas korek api.


Bagaimanakan solusinya?


SOLUSI


Korek api yang harus dipindahkan bisa dilihat pada gambar berikut ini :


 


Bagaimana menunjukkan bahwa luasnya sama dengan 2?


Luas daerah yang awalnya merupakan bagian dalam korek apai yang sekarang merupakan bagian luarnya sama dengan 2 kali luas segitiga siku-siku yang terbentuk oleh korek api. Dengan alas satu satuan korek api dan tingginya sama dengan 4 satuan korek api.
Luasnya sama dengan
Karena sebanyak 2 kali, maka dikalikan 2. Sama dengan 4.
Sehingga luas bagian dalam dari bangun datar yang baru sama dengan satuan luas korek api.

Korek Api (membagi luas menjadi dua)

Kali ini korek api memberikan yang sedikit unik. Membagi luas daerah menjadi dua bagian yang sama. Daerah yang terbentuk dari korek api seperti gambar berikut :
 



Berupa segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya adalah 3, 4 dan 5 satuan panjang korek api. Lalu apa yang akan menjadi permasalahan?


Bagimana caranya? Dengan meletakkan tiga korek api di dalam daerah tersebut sehingga membagi daerah segitiga siku-siku tersebut menjadi dua daerah yang sama besar.
12 korek api tersebut tidak boleh diubah posisinya. Bagaimana caranya?




SOLUSI


Perhatikan gambar berikut ini :





Bagaimana kita percaya bahwa 3 korek api tersebut membagi dua bagian sama besar?


Akan kita hitung luasnya! Kita hitung yang bagian atas saja!
Tentu kita sudah tahu bahwa luas segitiga awalnya adalah 6 satuan luas korek api. Sehingga kita harus menunjukkan bahwa luas salah satu bagian daerah yang telah dipotong sama dengan setengah dari luasnya segitiga awal, yaitu sama dengan 3 satuan luas korek api.


Untuk melihat bahwa luas daerah bagian atas sama dengan 3 satuan luas korek api, maka perhatikan gambar berikut ini :





Daerah atas tersebut dibagi-bagi. Menjadi satu buah persegi dan dua buah segitiga siku-siku yang sama dan sebangun.
Luas persegi sama dengan 1 satuan luas korek api. Sedangkan luas segitiga siku-siku tersebut sama dengan 1 satuan luas korek api. Karena ada dua segitiga siku-siku kecil dan ada satu persegi dengan luas sama dngan 1 satuan luas korek api, maka luas daerah bagian atas korek api adalah sama dengan satuan luas korek api.


Akibatnya, luas daerah bawah korek api juga sama dengan 3 satuan luas korek api.


Terbuktilah bahwa bentuk peletakan tiga korek api tersebut membagi satu daerah tadi menjadi dua daerah yang mempunyai luas sama
 

Grafik Wajah Matematika

 

 


Banyak cara menggambar grafik. Banyak juga grafik unik. Kalau postingan sebelumnya mengenai grafik trigonometri yang bentuknya berupa garis lurus, dan juga grafik hati, grafik orang-orangan, dan sebagainya. Kali ini ada sedikit yang baru, yaitu grafik wajah.


Kali ini bukan hanya satu persamaan, tetapi lebih dari satu persamaan.
Persamaan Grafiknya sebagai berikut :

Alphametic pada Soal Olimpiade

   
 
  

Apa itu alphametic. Alphametic adalah suatu bentuk kata yang terdiri dari beberapa huruf, dan setiap huruf bisa diganti dengan suatu angka. Dan setiap huruf yang berbeda, tentunya akan mempunyai nilai angka yang berbeda juga.
Permasalahan mengenai alphametic biasanya ada pada soal-soal olimpiade, baik di SD, SMP maupun jenjang yang lainnya.
Dan biasanya diberikan dalam bentuk suatu operasi matematika, penjumlahan, pengurangan, perkalian maupun pembagian dan yang lainnya.
Misalnya pada soal SD, Tentukan masing-masing nilai dari setiap huruf pada alphametic berikut :

 

 

Tentukan suatu angka/digit yang mewakili P, R dan Q.
Dan biasanya di soal tersebut yang ditanyakan adalah bermacam-macam. Misalnya, tentukan P+Q+R, atau yang lainnya.


Tentu hal ini bisa diselesaikan dengan cara macam-macam, dengan coba-coba merupakan cara yang sangat sering digunakan.
Perhatikan huruf Q terakhir. Suatu angka yang dikalikan dengan suatu angka, yang menghasilkan angka satuan sama dengan angka sebelumnya. Tentunya kita bisa menduga-duga.
dan dan
Hanya angka-angka tersebut yang mungkin.


Dan selanjutnya diserahkan kepada pembaca untuk diselesaikan.
Karena soal ini masih tergolong mudah.




Pada postigan kali ini yang ingin kami tunjukkan mengenai alphametic adalah sesuatu yang unik. Seperti pada gambar di awal tulisan ini, yaitu :

 

EARTH+AIR+FIRE+WATER=NATURE

 

Alphametic, setiap huruf yang berbeda mewakili suatu angka yang berbeda. Bisa kita lihat pada gambar tersebut,
A=7, E=6, R=4, T=3, H=2, I=0, F=8, W=9, N=1, U=5
Bentuk alphametic tersebut ditemukan oleh Herman Nijon.
Semua angkanya di sini terpakai, tidak ada angka yang tidak terpakai.


Bentuk berikut ini juga unik, bentuk yang berikut ini ditemukan oleh Peter J. Martin





S=1, A=2, T=7, U=5, R=0, N=3, E=9, P=4, L=6, O=8
Bentuk kali ini juga menggunakan semua angkanya, yaitu dari 0 sampai 9.

SATURN+URANUS+NEPTUNE+PLUTO=PLANETS

 

Bentuk alphametic ini sangat susah untuk ditemukan. Selain itu, bentuk alphametic ini juga terbatas pada 10 huruf yang dipakai. Maksimal hanya menggunakan 10 huruf. Tidak akan bisa menggunakan lebih dari 10 huruf. Karena angka itu hanya dari 0 sampai 9. Tidak ada lagi selain itu.


Andaikan orang dulu menggunakan basis yang lebih besar dari 10, dan membuat simbol angka untuk angka yang lebih dari 10, maka kemungkinan alphametic ini akan semakin besar. Hehehe.. tetapi tentunya perhitungan akan semakin rumit. Hehehe.