MATH LOVER: Dalil Stewart dan Bukti

Senin, 14 November 2011

Dalil Stewart dan Bukti

"""""""""""""""<<>>,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

CD adalah garis sebarang yang membagi AB menjadi AD dan BD. Panjang CD dapat dicari dengan menggunakan rumus Stewart. yaitu

$CD^2 \times AB = (BC^2 \times AD) + (AC^2 \times BD) + (AD \times BD \times AB)$

Rumus stewart ini penting untuk dihafal. Karena akan sangat memudahkan kita untuk mencari panjang garis yang membagi di dalam sebuah segitiga. Untuk mencari garis tinggi, garis bagi maupun garis berat, bisa menggunakan rumus stewart tersebut.

Bukti untuk rumus atau dalil stewart :

Proyeksi CD pada AB adalah DE.
Perhatikan segitiga BDC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga tumpul. Berlaku :

$BC^2 = CD^2 + BD^2 + (2BD \times DE)$    …1)

Perhatika segitiga ADC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga lancip. Berlaku :

$AC^2 = CD^2 + AD^2- (2AD \times DE)$    …2)

Dari persamaan 1)    dan 2)    kita peroleh

$BC^2 = CD^2 + BD^2+(2BD \times DE)$    …1)
$AC^2 = CD^2 + AD^2-(2AD \times DE)$    …2)

Persamaan 1)   kita kalikan AD. Dan persamaan 2)   kita kalikan BD

$BC^2.AD = CD^2.AD + BD^2.AD + (2BD \times DE)AD$
$AC^2.BD = CD^2.BD + AD^2.BD-(2AD \times DE)BD$

Kita lakukan penjumlahan pada kedua bentuk di atas. Diperoleh

$BC^2.AD + AC^2.BD = CD^2.AD + BD^2.AD + CD^2.BD + AD^2.BD$

Lakukan penyederhanaan. Dan diperoleh bentuk

$CD^2 \times AB = (BC^2 \times AD) + (AC^2 \times BD) + (AD \times BD \times AB)$

Terbukti.

Dalil stewart ini akan mudah dihafal jika kita memperhatikan segitiganya. Perhatikan bahwa sisi yang dicari kuadrat dikalikan sisi yang sebagai alas sama dengan sisi miring kanan kuadrat dikalikan alas di depannya kemudian ditambah sisi miring kiri kuadrat dikalikan alas di depannya kemudian dikurangi dengan perkalian panjang-panjang bagian pada alas.